闭环根轨迹专题
在一个连续线性定常控制系统中,通常可以根据其闭环传递函数的闭环极点是否全部处于S平面的左半平面,来判断系统的稳定性,如果系统稳定,则所有的闭环极点全部具有负实部(位于S平面左半平面)。根轨迹的绘制,其本质就是根据开环传递函数的极点和零点,去判断闭环极点的位置(随开环根轨迹增益或其他参数的变化,闭环极点在S平面上的轨迹),以此可以判断系统的闭环稳定性和稳定程度。
根轨迹根据特征方程的不同,分为零度根轨迹和180度根轨迹,绘制略有区别,一一介绍。
一、180度根轨迹
开环传递函数=-1,-1与实轴正半轴夹角180度故称180度根轨迹。
规则1:实轴上根轨迹:从右往左数,奇数个零极点的左侧一段是根轨迹
规则2:渐近线规则:渐近线与实轴交点坐标公式如下:
简单描述就是:所有极点之和减去所有零点之和,除以极点个数减去零点个数
渐近线与实轴正半轴夹角公式如下:
规则3:分离点规则:
注意:如果没有零点,则右侧直接等于0
规则4:起始角(复数极点,起点处切线,与正实轴夹角)规则:
公式看起来比较复杂,实际操作起来较为简单,拆解解释一下:
终止角与之相对应公式如下:
规则5:根轨迹与虚轴交点
补充其他规则:
根轨迹分支数等于闭环特征方程阶数,开环极点个数n
根轨迹关于实轴对称
根轨迹始于开环极点,止于开环零点(m条)或无穷远(n-m条)
二、0度根轨迹
与180度根轨迹相比,0度根轨迹的绘制法则只有和相角有关的规则略有不同,一般是正反馈或者系统增益为负时画0度根轨迹。
实轴上根轨迹不同:从右往左偶数个零极点之左,第一个零极点之右
渐近线与实轴夹角不同:
起始角终止角不同:
三、根轨迹补充知识
闭环根轨迹能够体现一个控制系统的所有特性
1.当闭环根轨迹穿越虚轴到达S平面右半平面,此时系统不稳定,由此可以求出临界稳定时的增益K和纯虚根。
2.闭环根轨迹上的点与原点连线,连线与负实轴的夹角β,能够体现此时系统的阻尼比,超调量
3.由2.我们就可以设出固定阻尼比时的复数根,带入特征方程,待定系数求出具体根的数值,进而可以求出其他的闭环根
四、来个例题
第一问就是常规的广义根轨迹,第二问比较有意思。
至此这道题目完美解决。
注意:求出闭环极点(与开环零极点和根轨迹增益有关),闭环系统零点由前向通道零点和反馈通道极点组成 ,对于单位反馈,闭环零点就是开环零点